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什麼是齊次函數(Homogenous Function)呢?
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作者 | 劉邦啟 |
中文摘要 | 如果有天醒來你發現,你的資產呀、現金呀全部突然變成100倍,會不會感到很開心呢?應該超開心,想趕快多買點東西吧!結果,一出門想吃一頓好的早餐,價目表上本來蛋餅的價格是30元,現在變成了3,000元,大冰奶的價格本來25元也變成2,500元,還開心嗎?顯然不吧!當價格和所得這些名目變數完全相同幅度變動的時候,你對商品的購買力、購買數量這種實質變數,只要你理性正常,應該不會發生任何變化吧!我們就會說你不具有貨幣幻覺,沒有被名目的所得或價格影響到你的實質購買行為。 我們會進一步表達,你的需求函數應該長像這樣 Xd = X(Px, Py, M),其中Px、Py分別是X、Y兩種不同商品在市場上的價格,而M則是你的所得,Xd 則是你對 X 商品的需求量,而剛剛的現象,我們在數學上會這樣表達,「 Xd = X(100Px, 100Py, 100M) 」,也就是當商品的價格們、你的所得,都變成本來的100倍,你對商品X的需求量 Xd 就也還是 Xd,並沒有變成 100Xd ,也就是完全沒有發生變化,那麼只要有這種性質的函數,我們就稱它叫做「0階齊次函數」。這個詞有兩個重點,一個是「0階」,一個則是「齊次函數」,既然有0階,難道有其他階嗎?有的,又只要符合以下的定義,我們就會稱之為「齊次函數」: 齊次函數(Homogenous Function),當函數中的自變數變動一個倍數,整個函數可以整理為該倍數的某個次方倍,此函數即為齊次函數,而剛剛說的次方,就會稱為這個齊次函數之階數。 舉例來說,如果我們有一個效用函數長這樣:U = U(x, y) = x + y ,那這個效用函數是不是齊次函數呢?是的話又是幾階呢? 判斷一個給定的函數是否為齊次函數,唯一的方法就是,「將自變數變動一個倍數,看看整個函數值會不會變動那個倍數的某個次方倍」,會,那這個函數就是齊次函數,不會,那他就不是齊次函數了!所以我們只需要這樣檢驗他, 我們把變數都變成兩倍丟進函數看看,U(2x, 2y) = 2x + 2y = 2 (x + y) = 2U,也就是我們將變數變成2倍代入,效用剛剛好就會變成原來的2倍,也就是將自變數x , y變為2倍,整個函數值變動為2的1次方倍,那麼符合剛剛判斷的標準,所以U = U(x, y) = x + y的這個效用函數就是齊次函數了,而且我們知道他就是1階齊次函數,我們常常會將它記做H.O.D. in 1,表示是1階齊次函數的意思。下次我們再講講,名字跟他很像的一個函數,齊序函數(Homothetic Function)到底是什麼? |
關鍵詞 | 齊次函數 |
刊名 | 劉邦經濟教室-同學舉手問 |
期數 | |
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