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什麼是齊序函數(Homothetic Function)呢?(下)
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作者 | 劉邦啟 |
中文摘要 | 我們學了三個重要的概念:「齊次函數」、「正向單調轉換」、「齊序函數」,前兩個概念你應該都有快速的判斷方法了,而我們花了三次的篇幅講的「齊序函數」,是不是也有快速的判斷方法呢? 依照上週講的特性-「齊序性質」,我們知道齊序函數在平面上所畫出來的等值曲線,和從原點發射的射線交點,切線斜率都必定會相等。而我們在個體經濟學中,「齊序性質」這個概念最常被討論在消費者的「效用函數」與生產者的「生產函數」上,尤其是生產函數用得更多!如果效用函數是齊序,或是生產函數是齊序,那會怎麼樣呢? 我們把效用函數畫在二維平面上,呈現出來的是無異曲線,而生產函數在二維平面上畫出來的則是等產量曲線,無異曲線的切線斜率受到MRS影響,而等產量曲線的切線斜率則取決於MRTS,那從原點發射的射線呢? 舉例來說,回憶一下上週的圖,如果我們討論下圖中這些畫在xy平面上的無異曲線們,只要有一組效用函數,我們就可以畫出無限多條無異曲線,我們隨便畫了其中的三條無異曲線出來看看。 你可以在上圖中發現,任何一條從原點發射的射線,都能表達成 y = ax 或 y = bx 的型態,也就表示 y / x = a 或 y / x = b,因為射線上的任意點都能用座標表示,我們把座標中的 x, y 變數相除,同條線上的變數比值絕對是固定的,例如(x, y) = (1, 2),這個點一定位於 y = 2x 這條射線上,而 y / x 當然就等於 2。 然後呢?到底要說什麼呢?我想說的是,這條射線上遇到無異曲線的點們,在無異曲線上的切線斜率都相同,那切線斜率又被MRS影響,只要MRS都相同,切線斜率就必定相同了,又因為點在射線上,變數比值也都相同,我們把這些想法串起來,會變成怎麼樣呢? 只要是齊序的效用函數,會符合齊序性質,而齊序性質就是從原點發射的射線,遇到的MRS都會相同,只要在相同射線上,座標中的變數比值(x / y 或 y / x)就固定,而MRS也固定,只要在不同射線上,變數的比值就會不同,而MRS也就跟著改變,那不就表示,齊序效用函數畫的無異曲線,他的MRS根本就會是變數比值(x / y 或 y / x)的函數了!只要給我們一個變數比值,我們就可以對應出一個MRS,只要有固定的比值,那就會有固定的MRS,而無異曲線切線斜率就都相同了。 如果套用到齊序的生產函數呢?只要生產函數是齊序,他等產量曲線上的MRTS就會被變數比值(K / L 或 L / K)決定,也就必定是MRTS會是變數比值(K / L 或 L / K)的函數呢!而這也就是我們判斷齊序函數的方法了!只要我們遇到一組函數想判斷是否齊序,我們只需要計算他的 MRS 或 MRTS,如果算出來是變數比值的函數,那這個函數就必定是齊序函數,因為我們保證他會符合「齊序性質」! 我們試試看,請問你,如果有一個效用函數 U = xy,這個效用函數是齊序嗎?當然是,以前我們學的是,因為他是齊次函數所以他一定是就是齊序函數了,那用我們今天學的方法呢?我們算一下他的 MRS = MUx / MUy = y / x,你發現他的MRS是變數比值的函數,只要變數比值固定,MRS就固定了,所以他當然就是齊序函數,這就是齊序的判斷方法! 留兩個函數給你,你可以試試看嗎?請問生產函數 Q = L2K3、Q = 2L + 3K,這兩個生產函數是齊序函數嗎? |
關鍵詞 | 齊序函數、齊序性質、效用函數、生產函數、無異曲線 |
刊名 | 劉邦經濟教室-同學舉手問 |
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